\documentclass[11pt]{article}

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\title{用近世代数语言来复习高等代数} 
\author{AI} 
\date{\today}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle 

\begin{abstract}
这些例子展示了如何将高等代数中的概念（如线性变换、矩阵、多项式、方程组等）通过抽象代数的语言（如模、群、理想、同态等）重新表述。这种抽象化不仅统一了不同领域的概念，还揭示了它们的深层结构（如代数系统的公理化性质）。%例如，多项式环中的理想理论可以解释因式分解、互素性，而模的理论则为线性代数提供了更一般的框架。
\end{abstract}


\section{线性变换与模的同态}

高等代数表述： 
线性空间 \( V \) 上的线性变换 \( T \) 是 \( V \) 到自身的线性映射。  

抽象代数重述：  
若 \( V \) 是域 \( F \) 上的线性空间，则 \( T \) 是 \( F \)-模 \( V \) 到自身的模同态（即 \( F[x] \)-模同态，其中 \( x \) 对应 \( T \) 的作用）。



\section{矩阵相似性与群作用}

高等代数表述：  
矩阵 \( A \) 和 \( B \) 相似当且仅当存在可逆矩阵 \( P \) 使得 \( A = PBP^{-1} \)。  

抽象代数重述：  
矩阵 \( A \) 和 \( B \) 在一般线性群 \( GL(n, F) \) 的作用下处于同一轨道（即群作用 \( P \cdot B = PBP^{-1} \) 的轨道）。

\section{不可约多项式与极大理想}

高等代数表述：  
多项式 \( f(x) \in F[x] \) 是不可约的当且仅当它不能分解为两个次数更低的多项式的乘积。  

抽象代数重述：  
多项式 \( f(x) \) 是不可约的当且仅当由 \( f(x) \) 生成的理想 \( (f(x)) \) 是多项式环 \( F[x] \) 的极大理想（即商环 \( F[x]/(f(x)) \) 是域）。


\section{特征值与模的分解}

高等代数表述：  
线性变换 \( T \) 在向量空间 \( V \) 上有特征值 \( \lambda \) 当且仅当存在非零向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)。  

抽象代数重述：  
\( T \) 在 \( F[x] \)-模 \( V \) 上有特征值 \( \lambda \) 当且仅当 \( V \) 可分解为子模的直和 \( V = \ker(T - \lambda I) \oplus W \)，其中 \( \ker(T - \lambda I) \) 是非零的循环子模。


\section{中国剩余定理与理想互素}

高等代数表述：  
若整数 \( m \) 和 \( n \) 互素，则同余方程组  
\[
\begin{cases}
x \equiv a \pmod{m} \\
x \equiv b \pmod{n}
\end{cases}
\]  
有解且解唯一模 \( mn \)。  

抽象代数重述：  
若多项式 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在环 \( R[x] \) 中互素（即 \( (f) + (g) = R[x] \)），则商环 \( R[x]/(fg) \) 同构于 \( R[x]/(f) \times R[x]/(g) \)。


\section{不变子空间与子模}

高等代数表述：  
子空间 \( W \subseteq V \) 是线性变换 \( T \) 的不变子空间当且仅当 \( T(W) \subseteq W \)。  

抽象代数重述：  
\( W \) 是 \( F[x] \)-模 \( V \) 的子模（即 \( W \) 在 \( x \) 的作用下封闭）。


\section{行列式与群同态}

高等代数表述：  
行列式 \( \det: GL(n, F) \to F^\times \) 是一个群同态。  

抽象代数重述：  
\( \det \) 是一般线性群 \( GL(n, F) \) 到乘法群 \( F^\times \) 的群同态，其核是特殊线性群 \( SL(n, F) = \ker(\det) \)。


\section{因式分解唯一性与UFD}

高等代数表述：  
多项式环 \( F[x] \) 允许唯一因式分解（即每个多项式可唯一分解为不可约多项式的乘积）。  

抽象代数重述：  
\( F[x] \) 是唯一因子分解整环（UFD），其不可约元（即不可约多项式）在UFD中是素元。


\section{Jordan标准形与模的结构定理}

高等代数表述：  
每个线性变换在适当基下可表示为Jordan块的直和。  

抽象代数重述：  
有限生成 \( F[x] \)-模（即有限维线性空间）可分解为循环子模的直和，对应于Jordan块的结构（由主理想生成的模）。

\section{线性方程组的解与同态的核}

高等代数表述：  
齐次方程组 \( Ax = 0 \) 的解空间是线性变换 \( T(x) = Ax \) 的核。  

抽象代数重述：  
解空间是模同态 \( T: F^n \to F^m \) 的核（即 \( \ker(T) \)），满足同态基本定理 \( F^n/\ker(T) \cong \operatorname{Im}(T) \)。




\end{document}




